Некоторые вопросы изучения темы «Площади фигур»

Дата публикации: 24.12.2017

Карташян Марсел Вардгесович, учитель математики
Ростовская область

В этой работе выделены несколько утверждений о площади треугольников и четырёхугольников, которые не нашли место в теоретической части действующих школьных учебниках по геометрии. Доказательства этих утверждений достаточно простые, и часто их можно применить при решении задач по теме «Площади фигур». Далее приведены практические задачи, в которых решения облегчаются, как только применяются приведённые в работе утверждения.

Посмотреть публикацию
Скачать свидетельство о публикации
Ваш диплом готов. Если у вас не получается скачать диплом, открыть его или он содержит ошибки, просьба написать нам на электронную почту orgkom@limpopokonkurs.ru (обязательно укажите номер публикации в письме)

Некоторые вопросы изучения темы «Площади фигур»‌‍

«Площади фигур» является основной темой курса геометрии 7-11 классов. Задачи по этой теме широко представлены в учебниках, в сборниках задач и имеют многочисленные применения. Такие задачи часто встречаются на олимпиадах, а также на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ в первой и во второй частях. Особенно стоит выделить задачи, связанные с площадью треугольников, четырёхугольников и их комбинаций.

1. Площади треугольников

Перечислим несколько утверждений, относящиеся к теме «Площади треугольников». С применением этих утверждений будем решать более сложные геометрические задачи.

Утверждение 1. Если любую сторону треугольника разделить на n равных частей и точки деления соединить с противолежащей вершиной этого треугольника, то полученные n треугольники равновеликие. В частности, медиана любого треугольника делит его на два равновеликих треугольников.

Утверждение 2. Если внутренняя точка стороны треугольника соединена с противолежащей вершиной этого треугольника, то отношение площадей полученных треугольников равно отношению длин полученных отрезков.

Утверждение 3. Если прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает другой треугольник, то полученный треугольник подобен данному, а его площадь в k2 раз меньше данного треугольника, где k – коэффициент подобия.

Утверждение 4. На стороне AB отмечена точка M так, что AM:MB=m:n. Через M проведена прямая, параллельная стороне AC. Тогда площадь отсечённого треугольника равна

, где SABC– площадь ∆ABC.

Утверждение 5. Если сторону треугольника разделить на n равных частей и через точки деления провести параллельные прямые относительно другой стороны, то площади S1, S2, …, Sn полученных фигур относятся так, как последовательные нечетные числа 1:3:5 ... (2n-1) (рис. 1).

Доказать проведенные утверждения нетрудно. Применим эти утверждения в решении более сложных геометрических задач.

Задача №1. Дан треугольник ABC, площадь которого равна S0. Пусть M∈AB, P∈AC, N∈BC так, что AM:MB=BN:NC=CP:PA=m:n (рис. 2). Найти площадь треугольника MNP.

Решение. Обозначим AM=mx, MB=nx, BN=my, NC=ny, CP=mz, PA=nz. Тогда получим AB=(m+n)x, BC=(m+n)yи AC=(m+n)z.

По утверждению №5 . Отсюда . Аналогично и . Имея ввиду, что

, получим

.

Ответ: .

В частности, если площадь треугольника ABC равна S0, то площадь треугольника, стороны которого являются средней линией треугольника ABC, равна .

Задача №2. Дан треугольник ABC, площадь которого равна S0. Пусть BA1=AB, CB1=BCиAC1=AC (рис. 3). Найти площадь ∆A1B1C1.

Решение. Соединим A1 с точкой C, B1 с А и С1 с В. По условию задачи и утверждению №1, все семь треугольников внутри ∆A1B1C1 равновеликие. Значит, площадь ∆A1B1C1 равна 7.

Ответ: 7.

Задача №3. Дан треугольник АВС, площадь которого равна . На сторонах АВ, ВС, СА взяты соответственно точки М, N, P так, что АМ=2МВ, ВN=2NC и CP=2PA. Найти площадь треугольника MNP.

Решение. Эта задача является частным случаем задачи №1. В данном случае m=1, n=2. Следовательно, .

Ответ: .

Задача №4. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, площадь которого равна . Пусть М – середина АВ, N - середина ВС, Р – середина CD и Q – середина AD (рис.4). Найти площадь четырёхугольника MNPQ.

Решение. Проведём диагонали AC и BD данного треугольника.

Из результата задачи №1 получаем , , и . Почленно сложим полученные неравенства:

Значит, .

Ответ: .

Задача №5. Известно, что заштрихованные треугольники A0B1C, A1BC0, AB0C1, A0B0C0 равновелики (рис. 5). Доказать, что не заштрихованные четырёхугольники CA0C0A1, C1B0C0B, AB1A0B0 внутри треугольника ABC также равновелики и вычислить площадь одного из них, если площадь равновеликих треугольников равна .

Решение. Соединим C1 с точкой C0 и А с А0. Заметим, что треугольники AA0C0 и AA0C1 имеют равные площади (каждый из них является объединением треугольника AA0B0 и ещё одного заштрихованного треугольника). Эти треугольники имеют одинаковое основание AA0, следовательно, их вершины C0 и С1 равноудалены от прямой АА0. Значит, АА0║С0С1. Аналогично ВВ0║А1А0 и СС0║В1В0.

Рассмотрим трапецию AA0C0C1, диагонали которой пересекаются в точке B0, а продолжения боковых сторон в точке В. Нетрудно заметить, что прямая ВВ0 проходит через середины отрезков АА0 (точка D) и C1C0 (точка Е). Поскольку эта прямая параллельна прямой A1A0, то В0 – середина АА1. По утверждения №1 . Следовательно, площади четырёхугольников AB0A0B1 и CA0C0A1 равны. Аналогично доказывается, что четырёхугольник BC0B0C1 имеет такую же площадь.

Теперь найдем площадь одного из четырёхугольников, например, BC0B0C1 (обозначим через S). По утверждению№2 имеем BC1:C1A=:=(2S+2S0) : (S+2S0) и BC1:C1A=:=. Значит, , , , , .

Ответ: .

2.Площади четырёхугольников

Переходим к задачам, связанным с вычислением площадей четырёхугольников. В частности, необходимо обратить внимание на практические задачи с вычислениями площадей параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции, а также комбинаций этих фигур. Представим утверждения, которые будут применены.

Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника равна полупроизведению его диагоналей и синуса угла между ними: .

Для доказательства этой формулы применить формулу вычисления площади треугольника .

Утверждение 2. Площадь выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, равна произведению суммы произведений смежных сторон и синуса угла между двумя сторонами четырёхугольника. .

Доказательство. Пусть один из углов четырёхугольника равен , например, . Тогда

(рис. 6).

Утверждение 3. Площадь выпуклого четырёхугольника можно вычислить по формуле , где a,b,c,d–стороны четырёхугольника, p- полупериметр.

Доказательство. Пусть AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, тогда

и

2S=absinB+cdsinD, 4S=2absinB+2cdsinD, 16S2=4a2b2sin2B+4c2d2sin2D+8abcdsinBsinD=

=4a2b2(1-cos2B)+4c2d2(1-cos2D)+8abcdsinBsinD=4a2b2-4a2b2cos2B+8abcdsinBsinD+

+4c2d2-4c2d2cos2D.

,

Значит,

Покажем, что=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).

Действительно, 16 (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)= 16( (

= (b+c+d-a) (a+c+d-b) (b+a+d-c) (b+c+a-d).

2∙ =2cos2.

Таким образом, S2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) – abcd cos2.

В частности, площадь четырехугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по следующей формуле:

S=. (1)

Для доказательства формулы (1) достаточно учесть, что B+D=1800, следовательно, cos =0. А если в четырехугольник еще можно и вписать окружность, то S=.

Доказательство. Так как в четырехугольник можно вписать окружность, то a+c=b+d. Тогда

p-a= – a = = = c. Аналогично p–b=d, p–c=a и p–d=b. Значит, S=

Утверждение 4. Если любая внутренняя точка О параллелограмма ABCD соединена с вершинами параллелограмма, то сумма площадей треугольника AOD и BOC постоянна и равна половине площади параллелограмма.

Доказательство. Пусть OM – высота ∆AOD, а ON – высота ∆BOC, тогда MN - высота параллелограмма ABCD. SABCD = AD∙MN, а SAOD+SBOC = AD∙OM+BC∙ON = AD∙OM + AD∙ON = AD∙(OM + ON) = AD∙MN = SABCD.

Утверждение 5. Если в трапеции ABCD (AD ║ BC), провести диагонали, то трапеция разбивается на четыре треугольника, причем ∆ AOB и ∆COD равновелики: SAOB = SCOD. Последнее равенство непосредственно следует из равенства SABC = SBCD (рис. 8).

Утверждение 6. Если в трапеции ABCD известно, что SAOD = S1, а SBOC = S2, то SABCD =

=( + )2.

Доказательство. По утверждению 2 пункта 1 S:S2 = AO:OC = S1:S, отсюдаS=. Итак, SABCD = S1 + S2 + 2S = S1 + S2 + 2 = ( + )2.

Утверждение 7. В трапеции ABCD (AD ║ BC), M∈AB и N∈CD так, что MN║AD (MN║BC) и SAMND = SMBCN. Доказать, что MN=, где AD=a и BC=b.

Доказательство. Пусть h-высота трапеции ABCD, h1-высота трапеции AMND, а h2 - высота трапеции MBCN (рис.9).

Тогда SABCD = h, =h1 и =h2. Имея ввиду, что h= h1+ h2, получим: SABCD = + ), 1 = + ), + , , 2(MN2 + (a+b)MN + ab)= (a+b)2 + 2(a+b)MN, 2MN2 + 2(a+b)MN + 2ab= (a+b)2 + 2(a+b)MN, 2MN2 = a2+b2, MN = .

Задача №6. В выпуклом четырехугольнике ABCDC1 – середина AB, D1 – середина BC, A1 –середина CD, B1 – середина DA. Точки C1, D1, A1 и B1 соединяя с точками C, D, B и A соответственно получим четырехугольник A2B2C2D2 (рис. 10). Доказать, что площадь четырехугольник A2B2C2D2 равна сумме площадей треугольниковBC1C2, CD1D2, DA1A2 и AB1B2.

Решение. Проведем диагональ AC, получим = и = . Следовательно, площадь четырехугольника AC1CA1 равна половине площади ABCD. Аналогично получим, что площадь четырехугольника BD1DB1 также равна половине площади ABCD. Получается, что четырехугольник A2B2C2D2, является пересечением четырехугольников AC1CA1 и BD1DB1, имеет одинаковую площадь, что и те части четырехугольника, которые не покрываются четырехугольниками AC1CA1 и BD1DB1. Утверждение доказано.

Задача №7. Дан четырехугольник ABCD, площадь которого равна S0. Стороны этого четырехугольника продолжены так, что BL = AB, CP = BC, DE = CDиAM = DA (рис. 11).

Найти площадь четырехугольника LPEM.

Решение. Проведем диагональ BD четырехугольника ABCD и соединим точку M с точкой B. Заметим, что SABD = 2SAMB, а SAMB =SAML. Значит, SABD = SAML. Аналогично SBCD = SCPE, поэтому SABCD = SABD + SBCD= (SAML+SCPE).

Если провести диагональ AC, то таким же образом получим SABCD = (SEDM+ SBLP). Но

SMLPE = SABCD + SAML + SBLP + SCPE + SEMD, значит SMLPE = SABCD + ∙ 2 SABCD = 2,5S0.

Ответ: 2,5S0

Литература

1.Гордин Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. – М.: МЦНМО, 2003 г.

2.Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия – М.: «Наука», 1982 г.

3.Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Часть 1. – М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006 г.